2.1.E. Объединение и пересечение

Для двух множеств A и B, их объединением,  обозначенным как A ∪ B, является множество элементов, которое принадлежит или к A или к B или к обоим множествам.

Теория множеств механизма и гомеостаза

Перевод, комментарии © 2011—2012 Сергей Котов

1E.1     a ∈ (A ∪ B) ⇔ (a ∈ A) или (a ∈ B).

1E.2     (A ⊂ B) ⇔ (A ∪ B = B).

1E.3     (A ⊂ B) ⇒ [(A ∪ C) ⊂ (B ∪ C)].

Здесь и далее в выражениях союз “или”  использован в качестве логической дизъюнкции. Это значит, что высказывание слева или справа от союза “или” является истинным, но не исключает случая, когда истинными являются оба высказывания.

Пересечение A и B, обозначенное как A ∩ B, является множеством элементов, которое принадлежит обоим множествам A и B.

1E.4     a ∈ (A ∩ B) ⇔ (a ∈ A) и (a ∈ B).

1E.5     (A ⊂ B) ⇔ (A ∩ B = A).

1E.6     (A ⊂ B) ⇒ [(A ∩ C) ⊂ (B ∩ C)].

1E.7     ¬ (A ∪ B) = ¬ A ∩ ¬ B.

1E.8     ¬ (A ∩ B) = ¬ A ∪ ¬ B.

1E.9     A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

1E.10     A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

A

B

Различные случаи объединения множеств на диаграммах Эйлера—Венна. Заштрихованной областью показана область объединения:

A

B

A

B

A

B

Различные случаи пересечения множеств на диаграммах Эйлера—Венна. Заштрихованной областью показана область пересечения:

A

B

A

B