3.3.A  Стабильное множество, состояние

Состояние находится в равновесии, если в результате отображения μ остается абстрактно идентичным и с элементом, остающимся инвариантным к действию оператора, т.е. в обоих случаях соблюдается  μ(x) = x. Естественным расширением этого понятия является стабильное множество состояний, удовлетворяющее μ(A) ⊂ A. Эти выражения означают, необходимо заметить, что μ как бы теряет свою силу проявления изменений, когда сводится к A или x в области определения.

Вследствие этого μ^τ(x) = x и μ^τ(A) = A.

Часто, когда μ(x) = x, интересно знать, что случится, если оперируемое состояние является не х, а некоторым состоянием x* возле него (как обычно предполагаем, что должна быть перед этим определена некоторая топология  над М).  Если μ циклично прилагается к x* и сводит его обратно к x, то тем самым lim μⁿ (x*) = x и про машину μ можно сказать, что она "стабильна" к смещениям от x; в противном случае она "нестабильна". В случае стабильности вся операция может рассматриваться комплексно с μ = λⁿ σ, в котором σ – оператор, порождающий возмущения, так что μ(x) = x. Возмущения, следующие по σ, которые могут быть многозначными, таким образом могут быть приравнены к множеству D возмущений в формулировке Зоммергофа (см. 3.1.). В этом случае директивная корреляция может быть строго (rigorously) определена как стабильное равновесие.

Перевод © 2012 Сергей Котов

Теория множеств механизма и гомеостаза