3.2.J  Упрощение

Так как кибернетика развивается в изучении всё более и более сложных систем, то методы упрощения будут становиться более мощными и совершенными. Основы метода уже были обозначены Бурбаки; здесь основы будут даны в том виде, в каком они применимы к теории машин. Я полагаю здесь, что каждое упрощение достигается применением  эквивалентного отношения; я не знаю, описывается ли материя исчерпывающим образом, но я знаю, что нет причины для отказа от этой аксиомы.

Если машина μ(⊂ M ⨉ M) целесообразным образом упрощена приложением эквивалентного отношения, то частное множество должно оставаться машиной. При каких условиях будет справедливым этот вывод?

Возьмем эквивалентное отношение R(⊂ M ⨉ M) и общее состояние машины m. Состояния, соответствующие применением R являются множеством R(m). Преобразования, получаемые применением μ ко всем этим состояниям должны оставаться в том же эквивалентном классе (или частная машина не будет однозначной). m следует к μ(m) и эквивалентный класс преобразования есть R(μ(m)); как только что сказано, все R(μ(m)) должны находиться в нем. Условие совместимости, которое объединяет, не разрушая структуры машины, является следующим:

2J.1  ∀m ∈ M: μ R(m) ⊂ R μ(m).

После переформулирования его можно выразить как

2J.2  Машина μ совместима с эквивалентным отношением R ⇔ μ R μ^-1 ⊂ R.

Это можно интерпретировать следующим образом: эквивалентное отношение, которое следует или кодируется машиной, не должно иметь оторванных (broken) классов.

Когда R представлено как ρ^-1 ρ (см. раздел 2.6G), новое (упрощенное) отображение  машины σ сразу дано как

2J.3  σ = ρ μ ρ^-1.

Снова интерпретация ясна: новое отображение является попросту старым, которое проведено через упрощающее отображение ρ.

Здесь важно "бифункциональное" отношение.  Любое отношение, которое удовлетворяет выражению R R^-1 R = R (разделы 2, 5C.4 и 6K.1), если не отображение, может быть им сделано приложением подходящего эквивалентного отношения к его области.  Это, таким образом, обеспечивает прямое свидетельство того, что упрощение возможно.

Перевод © 2012 Сергей Котов

Теория множеств механизма и гомеостаза