2.1.G. Представления отображения

Возможны различные представления отображения. Мастерство в их выборе может преобразовать сложный и неясный довод в такой, который сразу становится очевидным.

Явное представление просто объявляет для каждого элемента в области определения его трансформацию в область значений; например для области определения {a, b, c, d} и области значений {b, c, e, h, j}, отображение μ может быть представлено:

μ (a) = e,    μ (b) = b,    μ (c) = e,     μ (d) = c.

Более компактно это может быть обозначено:

Теория множеств механизма и гомеостаза

Стреловидное  представление показывает множеством стрелок, как каждый элемент области определения относится к одному в области значений; например:

Если отображение является преобразованием множества в само себя, например E в E в виде

Матричное представление это такое табличное представление, в котором 1 ставится на каждом пересечении и 0 в других местах. Операции теории множеств, соответствующие подобным в алгебре матриц, обеспечивают представление, описанное выше и умножение строк на колонки.

Имеет существенное значение, особенно для биологических систем, что мы можем использовать отображения и множества, которые полностью произвольны (arbitrary) или лишены [жесткой] структуры, хотя многие   приложения в химии и физике используют отображения ограниченных или специализированных  типов. Поскольку последние являются, в определенном смысле, классическими, отметим их связи с полностью произвольными. Они все представляют некий путь получения преимущества  снижения избыточности (redundancy) в деталях отображения. Так отображение

Если особое внимание уделяется изменению x и если x – численное значение (так что возможно вычитание), x_n+1 может быть заменено на ∆x и отображение может быть представлено как дифференциальное уравнение ∆x = g(x). Если шаги становятся бесконечно малыми, зависимыми от бесконечно малых изменений во времени, отображение  естественным образом представлено обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка:

Функциональные символы изменены с ƒ  на g и h, чтобы было нагляднее, что форма ƒ  не остается неизменной.

Все, что было сказано выше, не ограничено одной переменной; для x может быть определено  семейство компонент, которые могут быть ограничены в количестве или безграничны, дискретны или непрерывны в значениях, быть с метрикой или без. Когда x представлено семейством компонент, дальнейшие ограничения между переменными, составляющими x, могут быть выражены частными дифференциальными операторами; так элементарное уравнение теплопроводности выглядит так

Таким образом, многие из хорошо известных уравнений физики и химии, описывающие поведение систем, на самом деле описывают отображения.

Перевод, комментарии © 2011—2012 Сергей Котов

то стреловидное представление будет таким:

                          a → b ⇄ c           d ↻

Табличное представление дано прямоугольником с колонками, соответствующими элементам области определения и строками, соответствующими элементам области значений. Меткой (одна в каждой колонке) отмечаются пересечения в соответствии с отображением.

может, очевидно, быть сжато к

                          μ (x) = x + 1 (по модулю 6).

В общем случае, отображение может быть определено как μ (x) = ƒ (х), где ƒ (х) есть некая хорошо известная функция, которая может быть выписана кратким образом. Если μ (x) записано в виде х', где уравнение становится формой

                          x' = ƒ (х);

и если x есть функция n или t , отображение может быть записано как

                          x _n+1 = ƒ (х_n) или как x (t + 1) = ƒ (x (t)).

Под n или t  имеется в виду перечислимая последовательность вида 1, 2, 3 ...