2.4.C. Снижение порядка

Для R [x, y] фиксация x как простого элемента (по любым причинам) делает R [x, y] свойством y. Так, если R [x, y] есть "х в два раза больше у" и х затем зафиксирован, допустим на 10, фраза "10 в два раза больше у" определяет свойство простого числа, а не пары ˂x, y˃. Так 5 имеет его, а 6 не имеет. Таким образом, для R снизился порядок от бинарного на унарный (эквивалентный свойству).

Выражение ∀ х: R [x, y] определяет возможные значения у, в соответствии с тем, делает ли y каждое отдельное значение выражение истинным или ложным. Так оно определяет свойство у, а не связь между х и у. Квантор ∀, действующий на одну из переменных в R [x, y, …] снижает порядок на единицу.

Похожим образом это происходит и с квантором ∃. С учетом этих фактов приведем следующие формулы; здесь используются некоторые очевидные обозначения для экономии места.

4C.1  если A ⊂ E: ∃x ∈ A: R [x, …] ⇒ ∃x ∈ E: R [x, …].

4C.2  если A ⊂ E: ∀x ∈ A: R [x, …] ⇒ ∀x ∈ E: R [x, …].

4C.3  ¬ (∃x: R [x, …]) ⇔ ∀x:  ¬ R [x, …].

4C.4  ¬ (∀x: R [x, …]) ⇔ ∃x:  ¬ R [x, …].

4C.5  ∃x: (R и S [x, …]) ⇔ R и ∃x: S [x, …] если х не встречается в R.

4C.6  (Аналогично для ∀ и "или").

4C.7  ∃x: (R или S) ⇔ (∃x: R) или  (∃x: S).

4C.8  ∀x: (R и S) ⇔ (∀x: R) и (∀x: S).

4C.9  ∃x: (R и S) ⇒ (∃x: R) и (∃x: S).

4C.10  (∀x: R) или (∀x: S) ⇒ ∀x: (R или S).

4C.11 ∃ ˂x, y˃: R ⇔ ∃x: (∃y: R) ⇔ ∃y: (∃x: R).

4C.12 ∀ ˂x, y˃: R ⇔ ∀x: (∀y: R) ⇔ ∀y: (∀x: R).

4C.13 ∃x: (∀ y: R) ⇒ ∀ y: (∃x: R).

4C.14 ∃x: ∀y: ∀z: R ⇒ ∀y: ∃x: ∀z: R ⇒ ∀y: ∀z: ∃x: R.

4C.15 ∃x: ∃y: ∀z: R ⇒ ∃x: ∀z: ∃y: R ⇒ ∀z: ∃x: ∃y: R.

Теория множеств механизма и гомеостаза

Перевод, комментарии © 2011—2013 Сергей Котов

Приведем еще пример из области корпоративных отношений:

Пусть R [x, y] определяет отношение “х является руководителем для y”. Тогда при фиксации x на значении, скажем, “Иванов”, подмножество y определяет группу сотрудников или подразделение, подчиненное Иванову, другими словами каждый сотрудник y имеет свойство “быть подчиненным” у Иванова.