2.1.D. Кванторы

"∃x: P…" следует читать как: "Существует (внутри уже определенного или подразумеваемого множества) по меньшей мере один элемент, обозначим его как x, который имеет свойство P или делает утверждение P истинным".

"∀x: P…" следует читать как: "Каждый элемент x (внутри уже определенного или подразумеваемого множества) имеет свойство P или делает утверждение P истинным".

"∃ x: х ∈ A и …" можно сократить как "∃ x ∈ A: …"

"∀ x: х ∈ A и …" можно сократить как "∀ x ∈ A: …"

Следующие формулы легко проверить. Более формальные доказательства обсуждаются в разделе 2.2.B. Пусть A и B любые множества. (Круглые и прямые скобки использованы в формулах ниже для того, чтобы сделать их смысл более понятным.)

1D.1     (A = B) ⇔ [(A ⊂ B) и (B ⊂ A)].

Теория множеств механизма и гомеостаза

Здесь союз “и”  впервые в этой работе использован в качестве логической конъюнкции. В выражении выше он обозначает, что высказывания слева и справа от союза “и” оба являются истинными.

1D.2     (A ⊂ B) ⇔ ∀ x: [(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B)].

Выражение справа читается так: для каждого элемента, если он содержится в A, то он должен быть также и в B.

1D.3     (A = B) ⇔ ∀ x: [(x ∈ A) ⇔ (x ∈ B)] (читается соответственно).

1D.4     a ∈ ¬A ⇔ a ∉ A (некоторое общее множество предполагается).

1D.5     A ⊂ B ⇔ ¬B ⊂ ¬A (некоторое общее множество предполагается).

1D.6     A = B ⇔ ¬B = ¬A (некоторое общее множество предполагается).

Перевод, комментарии © 2011—2012 Сергей Котов

Формула 1D.5 показывает, что если множество B является расширением множества A,    то дополнение множества B наоборот является меньшим множеством и включается в дополнение A.