2.2.B. Иллюстрация некоторых доказательств

1. Покажем (1E.9) что A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

х ∈ A ∪ (B ∩ C)

(по 1E.1) ⇔ (х ∈ A) или (х ∈ (B ∩ C)).

(по 1E.4) ⇔ (х ∈ A) или (х ∈ B и x ∈ C).

(по 2A.6) ⇔ (х ∈ A или х ∈ B) и (x ∈ A или x ∈ C).

(по 1E.1) ⇔ (х ∈ A ∪ B) и (х ∈ A ∪ C).

(по 1E.4) ⇔ х ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

(по 1D.3)   A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

 

2. Покажем (1F.5) что μ (A ∩ B) ⊂ [μ (A) ∩ μ (B)].

х ∈ μ (A ∩ B)

(по 1F.2) ⇔ ∃ y: y ∈ (A ∩ B) и x = μ (y).

(по 1E.4) ⇔ ∃ y: y ∈ A и y ∈ B и x = μ (y).

                    ⇔ ∃ y: y ∈ A и x = μ (y) и x = μ (y) и  y ∈ B и x = μ (y).

(по 2A.3) ⇔ ∃ y: [{y ∈ A и x = μ (y)} и {y ∈ B и x = μ (y)}].

(по 2A.8) ⇔ ∃ y: [y ∈ A и x = μ (y)] и ∃ y: [y ∈ B и x = μ (y)].

(по 1F.2) ⇔ х ∈ μ (A) и  х ∈ μ (B).

(по 1E.4) ⇔ х ∈ (μ (A) ∩ μ (B)).

(по 1D.2) μ (A ∩ B) ⊂ [μ (A) ∩ μ (B)].

Теория множеств механизма и гомеостаза

Перевод, комментарии © 2011—2013 Сергей Котов