2.3.C. Проекция

Проекция означает "взять один (или более) компонент". Если <x, y>, например, точка (2, 4) на плоскости x, y, то ее проекция на ось y есть число 4. В теории множеств, для данного произведения множеств E × F, pr₁ есть оператор, который конвертирует каждую пару <e, f> на элемент e из E. pr₁ таким образом, есть отображение E × F в E. Похожим образом pr₂ есть отображение E × F в F, что конвертирует <e, f> в f. Если базовое множество есть E × F × G, то pr₁ (<e, f, g>) = e и так далее. Похожим образом можно написать  pr₂₃ (<e, f, g>) = <f, g> и т.д.

Теория множеств механизма и гомеостаза

Перевод, комментарии © 2011—2013 Сергей Котов

Если даны E и F, pr₁^-1 (e) состоит из всех тех пар, которые имеют e как первый компонент; очевидно, что это множество {e} × F.

Оператор, который потребуется нам позднее, это такой оператор, который действуя на любой n – кортеж, производит множество n – кортежей, полностью отличающихся от исходного n – кортежа в некоторых компонентах, в то время как в других компонентах остающихся неизменными. Если множители произведения множеств (E_i)_{i ∈ I}, то I есть множество всех множителей и если J ⊂ I и если компоненты множества J изменяются, то оператор, в котором мы нуждаемся,  легко может быть найден как pr_I-J^-1 ∘ pr_I-J. Это не отображение конечно, а бинарное отношение (см. 2.5. ниже). Так как оно вызывает изменение в компонентах множества J, то оно будет представлено как V_j.

Если S ⊂ E × F:

3C.1  e ∈ pr₁(S) ⇔ ∃ f: f  ∈ F и <e, f> ∈ S.

3C.2  f ∈ pr₂(S) ⇔ ∃ e: e  ∈ E и <e, f> ∈ S.

3C.3  pr₁(1_E) = E; pr₁(1A) = A.

Так как pr_i есть отображение, применимы формулы 1f; в частности

3C.4  pr_i (S ∪ T) = [pr_i (S)] ∪ [pr_i (T)].

3C.5  pr_i (S ∩ T) ⊂ [pr_i (S)] ∩ [pr_i (T)].

3C.6   S ⊂ T ⇒ [pr_i (S)] ⊂ [pr_i (T)].

Удобно геометрически представить проекцию как множества отображений плоской фигуры на оси координат или трехмерного тела на поверхности трех плоскостей.

Некоторое тело определено произведением множеств X × Y × Z

Оператор pr_xz отображает  X × Y × Z  в X × Z, а в свою очередь, оператор pr_x отображает X × Z в X

То, что можно легко представить в виде математической абстракции, представляет основную проблему управления в реальной жизни.

Возвращаясь к примеру с позицией предприятия на рынке; если различные позиции компании представлены одной и той же совокупностью видимых факторов  (в данной терминологии проекций), то это значит, что не все факторы были учтены, иначе говоря, существуют проекции, которые остались неизвестными.

Для рисунка выше это означало бы, что мы, в реальности, можем видеть не геометрическое тело в трехмерном пространстве, а лишь отображение фигуры на плоскости.