2.3.A. Произведение множеств

Если даны два множества, E и F, [прямое или декартово] произведение множеств  E × F есть множество, сформированное взятием всех возможных пар элементов, первых из E и вторых из F. Каждая пара – элемент множества E × F, которое будет записано в виде <e, f>.  Элементы не имеют значимой последовательности в E × F, но внутри самой пары последовательность важна: ˂e, f˃ не равно ˂f, e˃ в случае, если e ≠ f.

Произведение множеств может быть представлено в виде таблицы, например:

Теория множеств механизма и гомеостаза

в которой направление должно быть полностью известно: какой множитель является первым, а какой - вторым.

3A.1     <e, f> ∈ E × F ⇔  e ∈ E и f ∈ F.

3A.2     <e, f> ∈ E × F ⇔  <f, e> ∈ F × E.

3A.3      (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

3A.4      (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).

3A.5      если A ⊂ E и B ⊂ F: ¬ (A × B) = (¬ A × F) ∪ (E × ¬ B).

3A.6      если A × B ≠ { }, то A × B ⊂ С × D ⇔ A ⊂ C и B ⊂ D.

Произведения более чем двух множеств определяются схожим образом, так

3A.7     <e, f, g> ∈ E × F × G ⇔  e ∈ E и f ∈ F и g ∈ G.

3A.8     <e, <f, g>> ∈ E × (F × G) ⇔  e ∈ E и ˂f, g˃ ∈  F × G.

Когда имеются много множеств, они могут быть удобно проиндексированы как (E₁, E₂, E₃, … если индексы числовые), или, в более общем случае, когда индексы могут быть любым произвольным множеством как (E_i) _{i ∈ I}, где I – множество индексов с перечислимым элементом i. Произведение такого множества может быть записано  как Π _{i ∈ I} E_i.

Перевод, комментарии © 2011—2013 Сергей Котов

Произведение множеств имеет свойства системы принципиально нового качества, не сводимые к свойствам исходных множеств.

Представим множество как некоторый ограниченный массив целых положительных чисел, допустим {2, 3, … , 10}. В таком случае произведение двух множеств будет представлять ограниченную область в первом квадранте прямоугольной системы координат с количеством элементов, равным  81 (9 × 9).

Для исходных множеств сотрудников некоего предприятия и должностей его штатного расписания произведением этих двух множеств будет являться множество возможных сочетаний конкретных людей и их должностей. Элементы множества - конкретные позиции сотрудников на предприятии.

Понятие произведения множеств имеет особую важность для понимания вопросов управления. Представим, например, предприятие, которое занимает некоторую позицию на рынке и стремится занять другую, более «сильную» позицию.

Чтобы иметь возможность целенаправленно это сделать, необходимо в том или ином виде провести анализ, представив текущую позицию предприятия как результат действия набора различных важных факторов, например, качество его продуктов, персонал, финансовые условия, состав клиентов и конкурентов. В данном представлении текущая позиция предприятия соответствует единственному элементу из возможного множества, определенного заданной комбинацией факторов.  Поиск, учет, изменение и контроль необходимых и достаточных элементов важных факторов  по  большому счету и составляет искусство управления.

Здесь необходимо подчеркнуть, что позиция предприятия на рынке однозначно соответствует произведению множеств исходных факторов, но не является им. Иначе говоря, необходимо четко разделять смысл понятий произведения множеств и отображения.