2.1.F. Отображения

Для двух множеств E и F, отображением (от E в F) является любая связь, правило, метод, диаграмма, обозначение, конструкция, процесс, алгоритм, вычисление, машина, устройство, сила, привод, рефлекс, инстинкт, команда или любая другая причина, эффект действия которой над любым элементом в E проявляется в результате на одном и только одном элементе в F.

E является областью определения для отображения;  F – областью значений, в которое следует отображение. F не обязательно должно отличаться от E. В данный момент отметим, являются ли E и F конечными или бесконечными, упорядоченными или нет, дискретными или непрерывными, измеримыми или нет: всё это не имеет значения.

Если отображение μ, действующее на e в E, дает ƒ в F, мы пишем μ (e) = ƒ. (Греческие строчные буквы в этой работе будут зарезервированы для обозначения отображений.)

Если A – подмножество E и μ действует на каждый элемент A, то порожденное множество является некоторым подмножеством F. Таким образом, для каждого данного подмножества E действие μ на его элементы порождает одно и только одно подмножество F. Таким образом, имеется определенное отображение множества всех подмножеств E на множество всех подмножеств F. Хотя, в сущности, здесь следует различать μ, опыт показывает, что использование для обозначения одного и того же символа μ удобно и редко является источником путаницы. Так, если A = {a₁, a₂, a₃, …}, мы имеем

1F.1     μ (A) = { μ (a₁), μ (a₂), μ (a₃), …}

c исходным μ в этом выражении справа и новым μ - слева.

(Взаимно - однозначное отображение, очень популярное в математике, здесь определять нет потребности , т.к. оно в этой работе нигде не используется.)

1F.2     x ∈ μ (A) ⇔ ∃ y: y ∈ A и x = μ (y).

1F.3     A ⊂ B  ⇒ μ (A) ⊂ μ (B).

1F.4     μ (A ∪ B) = [μ (A) ∪ μ (B)]

1F.5     μ (A ∩ B) ⊂ [μ (A) ∩ μ (B)]

Частный вид отображения, которое отображает множество в само себя по правилу:

∀ x: λ (x) = x, называется тождественным отображением. Оно может быть удобно представлено символом 1, так как в теории множеств мала вероятность перепутать его с чем-то еще. (Этот символ, конечно, совершенно отличается от булевской величины 1.) Его область определения - неотъемлемая характеристика и ее всегда нужно иметь в виду. Тождественное отображение на области определения A обозначим как 1_A.

1F.6     ∀ x ∈ A:  1_A (x) = x.

1F.7     1_A (B) = A ∩ B.

1F.8     Если B ⊂ A, 1_A (B) = B.

Теория множеств механизма и гомеостаза

Перевод, комментарии © 2011—2012 Сергей Котов

Введенное выше определение понятия отображения через перечисление самых разнообразных действий, список которых можно продолжить,  показывает чрезвычайную важность и общность этого понятия, существующего в природе и фактически используемого во всех сферах человеческой деятельности.  В математике широко используется термин функция, который по сути также является отображением.