Теория множеств механизма и гомеостаза

2.2. Логика для теории множеств

Удобно свести здесь в одну таблицу и сделать ясными логические методы, которые позднее будут использованы для доказательства теорем. Формулы ниже легко проверяются их приложением к элементарным ситуациям, в которых корректный ответ уже с определенностью известен. Они выписаны ниже главным образом для удобства ссылок.

А. Формулы

Пусть P (Q, R и т.д.) свойство, которое элемент может иметь или не иметь, или утверждение, которое может быть, а может и не быть истинным.

2A.1     "P и Q" означает "свойства P и Q оба имеют силу" или "утверждения P и Q оба истинны".

2A.2     "P или Q" означает "по меньшей мере одно из P или Q имеет силу, не исключено, что и то и другое вместе.

2A.3     P и (Q и R) ⇔  (P и Q) и R.

2A.4     P или (Q или R) ⇔  (P или Q) или R.

2A.5     P и (Q или R) ⇔  (P и Q) или (P и R).

2A.6     P или (Q и R) ⇔  (P или Q) и (P или R).

2A.7     ∃ y: (P или Q) ⇔  (∃ y: P) или (∃ y: Q).

2A.8     ∃ y: (P и Q) ⇔  (∃ y: P) и (∃ y: Q).

2A.9     (Если P – свойство x и y) ∃ <x, y>: P ⇔  ∃x:( ∃y: P) ⇔  ∃y:( ∃x: P).

2A.10   ∀ y: (P и Q) ⇔  (∀ y: P) и (∀ y: Q).

2A.11   (∀ y: P) или (∀ y: Q) ⇒∀ y: (P или Q).

2A.12   ∀ ˂x, y˃: P ⇔  ∀ x:( ∀ y: P) ⇔  ∀ y:( ∀ x: P).

2A.13   ∃ х: (∀ y: P) ⇒  ∀ y (∃ x: P).

(¬ P есть отрицание свойства или утверждения P.)

2A.14     ¬ (P и Q) ⇔  ¬ P и ¬ Q.

2A.15     ¬ (P или Q) ⇔  ¬ P или ¬ Q.

2A.16     (P ⇒ Q) ⇔ (¬ P ⇒ ¬ Q).

2A.17     (P ⇔ Q) ⇔ (¬ P ⇔ ¬ Q).

2A.18     ¬ (∃ y: P) ⇔  ∀ y: ¬ P.

2A.19     ¬ (∀ y: P) ⇔  ∃ y: ¬ P.

2A.20     (P ⇒ Q) ⇔ (∀ y: (¬ P или Q)).

2A.21   ∀ y: (P или Q) ⇔  (¬ P ⇒ Q) ⇔(¬ Q ⇒ P).

Перевод, комментарии © 2011—2013 Сергей Котов

В формулах 2A.9. и 2А.12 <x, y> обозначает элемент произведения множеств, см.  2.3.A.