3.1. Директивная корреляция

В 1950 г. Зоммергоф дал строгое и работающее определение, которое пробует определенно установить сущность  того, что в биологии и психологии понимается под координацией, интеграцией, целенаправленными действиями. Его попытка была осуществлена в духе математиков, которые за столетие до этого пытались дать строгие формы таким общим идеям как непрерывность, кручение (torsion), сходимость. Сегодня никто не сомневается в ценности их достижений, когда неопределенность здравого смысла и интуиции была заменена точным определением. Попытка Зоммергофа была успешной и я не сомневаюсь, что его точное определение будет признано как фундаментальное в научной биологии и психологии.

Однако в 1950 г. методы теории множеств в форме Бурбаки были мало известны и Зоммергоф использовал аналитический язык, бывший классическим в химии и физике. Здесь я надеюсь показать, что по концепции теории множеств его основная идея могла быть представлена намного проще и, следовательно, возможно более ясно. (Необходимо снова учесть, что множества, используемые ниже, могут быть конечными или бесконечными, с элементами, отличающимися ограниченно или неограниченно, измеримыми или нет; формулировки остаются неизменными для всех случаев.)

Перевод © 2011 Сергей Котов

Теория множеств механизма и гомеостаза

Имеется множество D возмущений d; это множество величин различных переменных. Они вызывают в окружающей среде изменение значений величин e множества E. Так как окружающая среда всегда находится в движении, то действие D на E определено на всем протяжении и так как окружающая среда не может быть в двух состояниях одновременно, это действие является однозначным.  Таким образом отношение D – E определяет отображение, допустим φ от D в E. Предполагается, что возмущение d действует в момент времени t₀; φ воздействует на e, где e = φ(d) в момент t₁.

Организм, мозг, регулятор или всё, что требует проявления директивной корреляции похожим образом определено множеством F элементов f с похожим поведением и в ответ на воздействия d  определяет отображение ρ от D на F. Для директивной корреляции, представленной здесь, отображение ρ ("как мозг реагирует") должно нести некую связь с φ. Наш вопрос здесь заключается в следующем: какую именно связь?

Когда возмущение d вызывает e и f отвечает на  φ(d) и ρ(d) соответственно – эти две величины взаимодействуют, чтобы дать некоторый финальный результат в момент времени t₂. Снова, так как результат должен быть определен на всем множестве и быть однозначным, влияние на результат должно соответствовать отображению, допустим ψ от E ⨉ F на Z, где Z – множество возможных следствий, когда диапазоны E и F не коррелированы на всех своих значениях. Z в действительности должен быть  ψ (E ⨉ F). Внутри Z имеется подмножество, назовем его G, результатов, которые являются "хорошими", то есть удовлетворяют некоторым нужным условиям. На рис.1 показаны эти отношения.

"Директивная корреляция", таким образом, определена как ρ в отношении к D, φ, ψ и G, если и только если:

1.1  ∀ d ∈ D: ψ (˂ φ(d), ρ(d) ˃) ∈ G.

Некоторые дополнительные ограничения могут быть добавлены если есть потребность исключить вырожденные случаи, такие когда D имеет только один элемент (или даже является пустым множеством!) или если G = Z, или G = { }; но, похоже, проще оставить это и просто отметить их вырожденность. Директивная корреляция должна быть, а не должна сводиться к нулевой степени. Это условие, заметим, является фундаментально непохожим на случаи,  в которых основное условие не выполняется или остается неопределенным.

Выражение выше может быть алгебраически упрощено, так как множество, определенное как ∀ d ∈ D: ˂ φ(d), ρ(d) ˃ идентично множеству ρ ∘ φ^-1, в котором D как множество исключено по правилу композиции. Таким образом, критерий становится следующим

1.2  ψ (ρ ∘ φ^-1) ⊂ G.

Так как ψ и φ являются множествами, это выражение может быть переписано (как в 2.6M), чтобы получить окончательную формулировку:

1.3  ρ представляет директивную корреляцию по отношению к D, φ, ψ и G } ⇔

        ρ ⊂ [ψ^-1(G)] ∘ φ.

Это выражение, отметим, полностью работает по отношению ко всему, на что действуют  его части. Оно также точно представляет на каких компонентах должна основываться любая дискуссия о директивной корреляции: опустите любой их них и дискуссия становится бессмысленной.  (Эти детали были представлены, конечно, и в оригинальной формулировке Зоммергофа.) (Для этой степени обобщения не делается различий между главными возмущениями которые воздействуют на систему и незначительными возмущениями, которые используются как сигналы: d может представлять оба этих типа.)