2.1.I. Композиция двух отображений

Если μ – отображение E в F и λ - отображение F в G, то обязательно существует отображение E в G определенное следующим образом: каждый элемент в E дает через μ один и только один элемент в F; этот элемент дает через λ один и только один элемент в G. Элемент в F есть μ(e) и в G:  λ( μ(e)). Это правило дает, таким образом, для каждого элемента в E один и только один элемент в G; что, следовательно, определяет отображение. Это будет обозначено как λ ∘ μ и обычно может быть для удобства сокращено на λμ. Заметим, что μ здесь оперирует первым.  μ ∘ μ будет обозначено как μ²  и т.д.

Только когда два отображения имеют общую размерность (dimension) для исключения [промежуточной операции] может быть  выполнена композиция.

Если определены множества E, F и G:

1I.1     (λ ∘ μ) (e) = λ(μ(e)) = λμ(e) .

1I.2     g ∈ λμ(e)  ⇔  ∃ ƒ : ƒ ∈ F и ƒ = μ(e) и g = λ(ƒ ).

1I.3     g ∈ λμ(A)  ⇔  ∃a : a ∈ A и g = λμ (a).

1I.4     g ∈ λμ(A)  ⇔  ∃a: a ∈ A и ∃ ƒ : (и т.д. аналогично 1I.2).

1I.5     1 ∘ μ = μ  ∘ 1 = μ (при условии, что E = F = G и область определения 1 содержит μ).

Теория множеств механизма и гомеостаза

Перевод, комментарии © 2011—2012 Сергей Котов

Аналогичным образом может быть определена композиция для любого конечного числа отображений. Подобная композиция также является отображением.