2.5.C. Композиция

Если S ⊂ E ⨉ F и T ⊂ F ⨉ G, так что S и T разделяют множество F, композиция S и T, записанная как T ∘ S (именно в таком порядке) является новым бинарным отношением, подмножеством E ⨉ G, определенным как

5С.1  ˂x, z˃ ∈ T ∘ S ⇔ ∃y: y ∈ S(x) и z ∈ T(y).

Таким образом, новое отношение или множество состоит из тех элементов в E и G, для которых может быть найден через S и T общий элемент в F.

T ∘ S может быть для удобства часто сокращено до TS и, если R ⊂ E ⨉ E, RR может быть записано как R². (Если E ≠ F, то S² не существует.)

Если S ⊂ E ⨉ F и T ⊂ F ⨉ G и R ⊂ E ⨉ E:

5С.2  ˂x, z˃ ∈ TS ⇔ z ∈ (TS)(x).  (по 5A.1)

5С.3  ˂x, z˃ ∈ TS ⇔ z ∈ T(S(x)).

5C.4  S ⊂ SS^-1 S (истинно для любого S).

5С.5  T ∘ (S₁ ∪ S₂) = TS₁ ∪ TS₂. (Riguet)

5С.6  T ∘ (S₁ ∩ S₂) ⊂ TS₁ ∩ TS₂. (Riguet) (Обе части становятся равны, если T^-1 имеет одно значение; см. ниже.)

5С.7  (T₁ ∪ T₂) ∘ S = T₁S ∪ T₂S. (Riguet)

5С.8  (T₁ ∩ T₂) ∘ S ⊂ T₁S ∩ T₂S. (Riguet) (Обе части становятся равны, если S имеет одно значение.)

5C.9  S₁ ⊂ S₂ ⇒ TS₁ ⊂ TS₂.

5C.10  S₁ ⊂ S₂ ⇒ S₁T ⊂ S₂T.

5С.11  1_B ∘ S ∘ 1_A = S ∩ (A ⨉ B)   (A ⊂ E, B ⊂ F). (Riguet)

5C.12  (TS)^-1 = (S^-1) ∘ (T^-1).

Для A ⊂ E, B ⊂ F, C ⊂ G:

5C.13  (B ⨉ C) ∘ S = [S^-1(B)] ⨉ C.  (Riguet)

5C.14  T ∘ (A ⨉ B) = A ⨉ [T(B)].  (Riguet)

Перевод © 2011 Сергей Котов

Теория множеств механизма и гомеостаза